历术甲子篇①
太初元年，岁名“焉逢摄提格”，月名“毕聚”，日得甲子，夜半朔旦冬至。
正北②
十二③
无大余④，无小余⑤；
无大余⑥，无小余⑦；
焉逢摄提格太初元年⑧。
①《索隐》说：“以十一月朔旦冬至得甲子，甲子是阳气支干之首，故以甲子命历术为篇首，非谓此年岁在甲子也。”②这是冬至所在辰次的方位。太初元年冬至在夜半子时，子的方位是正北。③这是一年的月数，无闰月为十二个月，有闰月则为十三个月。④这一行是计算月朔甲子日名的参数，《索隐》称为月朔大小余。已知本年初的月朔干支日名，将本年的总天数减去所含的甲子周数（甲子一周为60日，含几甲子就减去几个60日），剩余的不足一甲子的部分，整日数称为大余。从本年初的月朔干支，数到大余数目之外的第一个干支名，就是下年初的月朔干支日名（例见下年月朔大余注）。由于太初历把元封七年称为太初元年，而元封六年的十一月朔旦冬至是太初历的起算日期，冬至发生在朔日夜半子时，所以说太初元年（冬至前）没有大余。⑤这是月朔甲子余数中不足一整日的部分，太初历测得每月日，每年十二个月整日数之外还有小数，小数中的分子部分就是小余。同样由于太初历从十一月朔起算，所以说太初元年（冬至前）是“无小余”。⑥这一行是计算冬至干支日名的参数，《索隐》称为冬至大小余。已知本年冬至日名，从本年总天数中除去所包含的甲子周数，剩余部分中的整日数称为大余。从本年初的冬至干支日名，数到大余数之外的第一个干支就是下年冬至的干支日名（例见下年冬至大余注）。由于太初历是从元封六年的十一月冬至起算（这时已经是历法中的太初元年冬至），所以太初元年便是冬至无大余。⑦小余是指冬至日余分，即不足一整日的部分。太初历以每年为日，每日分为32分，日合8分，每隔一年，小余增加8分，四年积为一日，入大余。同样由于是自元封六年十一月冬至起算，冬至前无小余。⑧此句是说上述的月朔大小余和冬至大小余都是指甲寅年即太初元年而言。后同此。按：《历书》所指年是历法年，即以天正十一月为起止日期。如月朔大小余是指头年十一月朔的大小余；冬至大小余是指截止头年十一月冬至的大小余。而实际上太初历规定一年日期是从正月开始的。历法年比实际年早约一个半月。
十二①
大余五十四②，小余三百四十八③；
大余五④，小余八⑤；
端蒙单阏二年⑥。
①本年（即太初二年）为十二个月，无闰月。②测得每月日，全年12个月共日。分数部分归入下年。整数354日分配于十二月之中，每月29天半。实际月份不能含半日，命大月为30日，小月为29日，大小月相间安排，六大六小，恰354日。欲知下年月朔甲子，354日除6甲子300日，余54日为大余。自甲子起算大余外，即第55日戊午为下年十一月朔的日名。③由上注，全年354日零分日，其中分子348分便是小余。此后每月加29日，499分，小余积够940分为一日，入于大余之中本月便为大月30日，不足为小月29日。④太初历测得一个回归年（从冬至到下年冬至）的日数是日，已知上年冬至日名为甲子，欲求下年冬至日名，将一个回归年数除去6甲子（360日），余日，其中整数部分5便是大余。自太初元年冬至日名（甲子）起算，后数第6日为己巳，便是太初二年冬至的日名。余仿此。⑤上注中的余数，其中日合8分（每日析为32分）便是小余。小余满32分入大余。⑥前引《尔雅》文“端蒙”作旃蒙，为乙；单阏为卯，知端蒙单阏即为乙卯年。二年：指太初二年。后仿此，不另注。
闰十三①
大余四十八②，小余六百九十六③；
大余十④，小余十六⑤；
游兆执徐三年⑥。
①表示本年有闰月，全年共十三个月。如前述，每个回归年为日，而历法年才日，差约十一日，三年差一个月余，九年差一季，月与季节便失去了固定关系，即今年六月为夏季，若干年后的六月就成了严冬，很不方便。为此，在历法中设置了闰月，以求得历年和回归年的平衡。方法是将每年差数归入下年，积够一月则置为闰月，当年便是十三个月。旧历大约是每三年一闰，五年再闰。十九年置七个闰月。若按《汉书·律历志》所说的阳历（即设置大小月时，使月先朔而生）计算，本年为闰七月。《通鉴》闰月在太初二年正月，不合。②上年大余54，加上本年54，合为108日，除去一甲子60，余48日。所以说是大余48。③上年小余348分，今年又余348分，合为696分。 ④上年大余5，今年又余5，合为大余10。后仿此，不另注。⑤上年小余8分，今年又余8分，合为16分，余仿此。⑥前引《尔雅》游兆作柔兆，同。游兆执徐为丙辰年
十二
大余十二①，小余六百三②；
大余十五，小余二十四；
强梧大荒落四年③。
十二
大余七，小余十一；
大余二十一④，无小余⑤；
徒维敦牂天汉元年⑥。
闰十三
大余一，小余三百五十九；
大余二十六，小余八；
祝犁协洽二年⑦。
十二
大余二十五，小余二百六十六；
大余三十一；小余十六；
商横涒滩三年⑧。
十二
大余十九，小余六百一十四；
大余三十六，小余二十四；
昭阳作鄂四年⑨。
闰十三
大余十四，小余二十二；
大余四十二，无小余；
横艾淹茂太始元年⑩。
十二
大余三十七，小余八百六十九；
大余四十七，小余八；
尚章大渊献二年(11)。
闰十三
大余三十二，小余二百七十七；
大余五十二，小余一十六；
焉逢困敦三年(12)。
十二
大余五十六，小余一百八十四；
大余五十七，小余二十四；
端蒙赤奋若四年(13)。
①上年大余48日，加上当年所余54日，由于上年有闰月（闰月也是日），再加29日，合为131日，除去2甲子120日，余11日，加上小余积成的1日（见注②），为12日，所以大余为12日。此后每逢上年有闰，本年大余除了加上当年余54日外，另加闰月的29日。不另注。②上年小余696分，加上当年小余348分，再加上闰月余分499分，合为1543分。除去940分一整日，归入大余，余603分。所以小余是603。此后每逢上年有闰，小余除了加上当年所余348分之外，还要加上闰月余分499。不另注。③前引《尔雅》，强梧作强圉。强梧大荒落为丁巳年。④上年大余15，加上当年大余5，为20日，再加上小余积成的1日，合为21日，所以说大余为21日。⑤上年小余24分，加上当年小余8分合为32分，恰是一日分数，入于大余，所以说无小余。⑥上年（太初四年）为丁巳，本年当成戊午年，前引《尔雅》“戊曰著雍”，“午曰敦牂，年名当为著雍敦牂。此处为徒维敦牂，与《尔雅》不同。⑦由前引《尔雅》文，天汉二年的年名（己末）当为屠维协洽。此处为祝犁协洽，与《尔雅》不同。⑧天汉三年为庚申，《尔雅》当为上章涒滩，此处作商横涒滩，与《尔雅》不同。⑨辛酉年，《尔雅》作重光作噩，此处为昭阳作鄂。不同。⑩壬戌年，《尔雅》作玄黓阉茂，此处为横艾淹茂。艾读如刈，与黓同音；玄与横亦是地区读音不同的讹变。(11)癸亥年，《尔雅》当作昭阳大渊献，与此不同。《索隐》释亥为困敦，又不知其所据。(12)甲子岁，《尔雅》“焉”作“阏”，同音字。(13)乙丑岁，《尔雅》“端”作“旃”。同韵而讹。《索隐》“赤奋若”作“汭汉”，不知所据。按：由以上可知，《历术甲子篇》中的岁阳多与《尔雅》不同，其中多数是讹音字，也有的是根本不同。后不注。
十二
大余五十，小余五百三十二；
大余三，无小余；
游兆摄提格征和元年。
闰十三①
大余四十四，小余八百八十；
大余八，小余八；
强梧单阏二年。
十二
大余八，小余七百八十七；
大余十三，小余十六；
徒维执徐三年。
十二
大余三，小余一百九十五；
大余十八，小余二十四；
祝犁大芒落四年②。
闰十三
大余五十七，小余五百四十三；
大余二十四，无小余；
商横敦牂后元元年。
十二
大余二十一，小余四百五十；
大余二十九，小余八；
昭阳汁洽二年③。
闰十三④
大余十五，小余七百九十八；
大余三十四，小余十六；
横艾涒滩始元元年。
正西⑤
十二
大余三十九，小余七百五；
大余三十九，小余二十四；
尚章作噩二年⑥。
①《汉书·武帝纪》征和二年为闰四月。②太初四年中“大芒落”作“大荒落”，《尔雅》亦作“大荒落”③前天汉二年“汁洽” 作“协洽”，《尔雅》亦作“协洽”。④《汉书·武帝纪》为闰九月。⑤自太初元年到始元元年（前104－前86年），已履19年，每个回归年天数中有余分，19年为，除去4整日，余日。始元二年的冬至必在过了日之后。一日为十二辰，日当在酉时，即始元二年冬至加于酉时（酉时为冬至）。酉的方位为正西。所以此处“正西”就是冬至加于酉时的意思。⑥天汉四年所纪为“作鄂”，《尔雅》为“作噩”，与此同。
十二
大余三十四，小余一百一十三；
大余四十五，无小余；
焉逢淹茂三年
闰十三
大余二十八，小余四百六十一；
大余五十，小余八；
端蒙大渊献四年。
十二
大余五十二，小余三百六十八；
大余五十五，小余十六；
游兆困敦五年。
十二
大余四十六，小余七百一十六；
无大余，小余二十四；
强梧赤奋若六年。
闰十三
大余四十一，小余一百二十四；
大余六，无小余；
徒维摄提格元凤元年。
十二
大余五，小余三十一；
大余十一，小余八；
祝犁单阏二年。
十二
大余五十九，小余三百七十九；
大余十六，小余十六；
商横执徐三年。
闰十三
大余五十三，小余七百二十七；
大余二十一，小余二十四；
昭阳大荒落四年。
十二
大余十七，小余六百三十四；
大余二十七，无小余；
横艾敦牂五年。
闰十三
大余十二，小余四十二；
大余三十二，小余八；
尚章汁洽六年。
十二
大余三十五，小余八百八十九；
大余三十七，小余十六；
焉逢涒滩元平元年。
十二
大余三十，小余二百九十七；
大余四十二，小余二十四；
端蒙作噩本始元年。
闰十三
大余二十四，小余六百四十五；
大余四十八，无小余；
游兆阉茂二年。
十二
大余四十八，小余五百五十二；
大余五十三，小余八；
强梧大渊献三年。
十二
大余四十二，小余九百；
大余五十八，小余十六；
徒维困敦四年。
闰十三
大余三十七，小余三百八；
大余三，小余二十四；
祝犁赤奋若地节元年。
十二
大余一，小余二百一十五；
大余九，无小余；
商横摄提格二年。
闰十三
大余五十五，小余五百六十三；
大余十四，小余八；
昭阳单阏三年。
正南①
十二
大余十九，小余四百七十；
大余十九，小余十六；
横艾执徐四年。
①自太初元年（前104）至地节三年（前67）共38年，每年日，日余为日，38年余分为，除去9整日，余日，那末除去整日之外，需再过日才能到下年（地节四年）冬至，即冬至加时在午。十二辰午居正南方，所以，此处“正南”的意思是地节四年冬至加于午时。此后初元二年有“正东”，算法同，不另注。
十二
大余十三，小余八百一十八；
大余二十四，小余二十四；
尚章大荒落元康元年。
闰十三
大余八，小余二百二十六；
大余三十，无小余；
焉逢敦牂二年。
十二
大余三十二，小余一百三十三；
大余三十五，小余八；
端蒙协洽三年。
十二
大余二十六，小余四百八十一，
大余四十，小余十六；
游兆涒滩四年。
闰十三
大余二十，小余八百二十九；
大余四十五，小余二十四；
强梧作噩神雀元年。
十二
大余四十四，小余七百三十六；
大余五十一，无小余；
徒维淹茂二年
十二
大余三十九，小余一百四十四；
大余五十六，小余八；
祝犁大渊献三年。
闰十三
大余三十三，小余四百九十二；
大余一，小余十六；
商横困敦四年。
十二
大余五十七，小余三百九十九；
大余六，小余二十四；
昭阳赤奋若五凤元年。
闰十三
大余五十一，小余七百四十七；
大余十二，无小余；
横艾摄提格二年。
十二
大余十五，小余六百五十四；
大余十七，小余八；
尚章单阏三年。
十二
大余十，小余六十二；
大余二十二，小余十六；
焉逢执徐四年。
闰十三
大余四，小余四百一十；
大余二十七，小余二十四；
端蒙大荒落甘露元年。
十二
大余二十八，小余三百一十七；
大余三十三，无小余；
游兆敦牂二年。
十二
大余二十二，小余六百六十五；
大余三十八；小余八；
强梧协洽三年。
闰十三
大余十七，小余七十三；
大余四十三，小余十六；
徒维涒滩四年。
十二
大余四十，小余九百二十；
大余四十八，小余二十四；
祝犁作噩黄龙元年。
闰十三
大余三十五，小余三百二十八；
大余五十四，无小余；
商横淹茂初元元年。
正东
十二
大余五十九，小余二百三十五；
大余五十九，小余八；
昭阳大渊献二年。
十二
大余五十三，小余五百八十三；
大余四，小余十六；
横艾困敦三年。
闰十三
大余四十七，小余九百三十一；
大余九，小余二十四；
尚章赤奋若四年。
十二
大余十一，小余八百三十八；
大余十五，无小余；
焉逢摄提格五年。
十二
大余六，小余二百四十六；
大余二十，小余八；
端蒙单阏永光元年。
闰十三
无大余，小余五百九十四；
大余二十五，小余十六；
游兆执徐二年
十二
大余二十四，小余五百一；
大余三十，小余二十四；
强梧大荒落三年。
十二
大余十八，小余八百四十九；
大余三十六，无小余；
徒维敦牂四年。
闰十三
大余十三，小余二百五十七；
大余四十一，小余八；
祝犁协洽五年。
十二
大余三十七，小余一百六十四；
大余四十六，小余十六；
商横涒滩建昭元年。
闰十三
大余三十一，小余五百一十二；
大余五十一，小余二十四；
昭阳作噩二年。
十二
大余五十五，小余四百一十九；
大余五十七，无小余；
横艾阉茂三年。
十二
大余四十九，小余七百六十七；
大余二，小余八；
尚章大渊献四年。
闰十三
大余四十四，小余一百七十五；
大余七，小余十六；
焉逢困敦五年。
十二
大余八，小余八十二；
大余十二，小余二十四；
端蒙赤奋若竟宁元年。
十二
大余二，小余四百三十；
大余十八，无小余；
游兆摄提格建始元年。
闰十三
大余五十六，小余七百七十八；
大余二十三，小余八；
强梧单阏二年。
十二
大余十二，小余六百八十五；
大余二十八，小余十六；
徒维执徐三年。
闰十三
大余十五，小余九十三；
大余三十三，小余二十四；
祝犁大荒落四年。
右《历书》：大余者，日也①。小余者，月也②。端（旃）蒙者③，年名也。支：丑名赤奋若，寅名摄提格④。干：丙名游兆⑤。正北，冬至加子时⑥；正西，加酉时；正南，加午时；正东，加卯时。
①指余数中整日的数目。②小余是余数中不足一日的部分，即分数部分。由于把月朔小余依次加上每月余分499，可以决定该月是大月或小月（大于940分为大月，不足940分为小月）；而冬至小余决定了冬至所在辰次，即天正（历法正月）十一月的位置。所以释小余为“月也”，是有道理的。《正义》说“小余又非是”，不妥。③年名由二部分组成：一为岁阳，如端蒙等；二为岁名，即太岁所在的十二辰次名。文中只举岁阳部分，是略语④举丑、寅二支以概其余。⑤举丙名以概其余。⑥加子时：就是加于子时，或者说在子时。后同此，不另注。